要想推导出笑脸公式，我们可以使用数学中的射影几何方法。具体步骤如下：
1. 在直角坐标系中，建立一个平面，其方程为ax^2 + by^2 + cz + d = 0。这个平面被称为二次曲面，其中a、b、c和d都是常数，且a != 0。
2. 在这个平面上，选择一个原点O和一个方向向量V。原点O决定了二次曲面的中心，而方向向量V决定了二次曲面的法向。
3. 接下来，我们需要找到满足条件的所有点P，使得OP垂直于平面。这些点P就形成了我们所说的笑脸曲线。
为了找到这些点，我们可以使用射影几何中的投射法则。假设点P在平面上的投影为P'，连接O和P'，并延长OP'与平面相交于点Q。由于OP垂直于平面，所以OP'也垂直于平面，因此点Q就在二次曲面上。
现在，我们可以使用代数方法，找到满足条件的所有点Q。通过联立二次曲面方程和点Q在平面上的方程，我们可以得到一个关于x和y的方程组。这个方程组可以通过消元法或其他方法求解，从而得到点Q的坐标。
最后，将点Q的坐标代入二次曲面方程，就可以得到笑脸公式。
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